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15 謎題為何無法解開

「15 謎題」，也稱為「15 數位問題」，並非無法解開，而是某些初始狀態無法達到目標狀態。

遊戲說明

「15 謎題」是一款滑塊遊戲，遊戲板是一個 4×4 的網格，包含標記為 1 到 15 的 15 個滑塊和一個空格。玩家的目標是將滑塊按從左到右、從上到下的順序移動，最終得到 1 到 15 的有序排列，空格位於右下角。

無法解開的情況

如果初始狀態的逆序對數量為奇數，則無法合法地移動到目標狀態。逆序對是指在序列中，前後兩個數字前後位置的順序與大小順序相反的一對數字，例如，在序列 2、4、3、1 中，逆序對為 (2, 1)、(4, 3)、(4, 1)、(3, 1)，總計四對。

證明。

滑塊在遊戲板上的移動可以視為這些滑塊排列的轉換。每次移動滑塊時，其實是將空格與相鄰的滑塊交換。而這種交換操作會改變排列的逆序對的奇偶性。目標狀態的逆序對為 0，即偶數。如果初始狀態的逆序對為奇數，無論如何移動，其逆序對都不能改變為偶數，因此無法達到目標狀態。

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