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¿Por qué el Rompecabezas de 15 no tiene solución

El “Rompecabezas de 15”, también conocido como el “Problema Digital de 15”, no es intrínsecamente insoluble, sino que el estado objetivo no puede alcanzarse desde ciertos estados iniciales.

Descripción del Juego

El "Rompecabezas de 15" es un juego de deslizamiento donde el tablero de juego es una cuadrícula de 4x4 con 15 deslizadores etiquetados del 1 al 15 y un espacio vacío. El objetivo del jugador es mover los deslizadores en orden de izquierda a derecha y de arriba a abajo, resultando en una secuencia ordenada del 1 al 15, con el espacio en la esquina inferior derecha.

Casos Insolubles

La situación no puede trasladarse legalmente al estado objetivo si, y solo si, el número de pares de inversión en el estado inicial es impar. Un par de inversión es un par de números en una serie que se denominan par de inversión si sus posiciones delantera y trasera están en el orden de magnitud opuesto, es decir, el número anterior es mayor que el número posterior. Por ejemplo, en la serie 2, 4, 3, 1, los pares de inversión son (2, 1), (4, 3), (4, 1), (3, 1), lo que suma cuatro.

Prueba.

El movimiento de los deslizadores en el tablero puede considerarse como una transformación de la disposición de estos deslizadores. Cada vez que se mueve un deslizador, en realidad se intercambia un espacio con un deslizador adyacente. Y esta operación de intercambio cambia la paridad del logaritmo inverso de la disposición. El logaritmo inverso del estado objetivo es 0, que es par. Si el logaritmo inverso del estado inicial es impar, no importa cuántas veces se mueva, su logaritmo inverso no puede cambiarse a par, y no se puede alcanzar el estado objetivo.

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